Transformasi Geometri Bagian 4 - Dilatasi (Perkalian) Matematika Wajib Kelas 11

Transformasi Geometri — Dilatasi (Perkalian)

Ringkasan konsep, rumus, dan langkah dari video “Transformasi Geometri Bagian 4 - Dilatasi (Perkalian) — Matematika Wajib Kelas 11”.

Konsep inti

• Dilatasi (perkalian) adalah transformasi geometri yang mengubah ukuran objek tetapi mempertahankan bentuk dan arah (kolinearitas dan sudut).
• Dua elemen penting:
  • Titik pusat dilatasi: mis. O atau P dengan koordinat (m, n).
  • Faktor skala: k.
• Pengaruh nilai k:
  • k > 1 : pembesaran (image berada pada sisi yang sama dari pusat, lebih besar).
  • 0 < k < 1 : pengecilan (image pada sisi yang sama, lebih kecil).
  • k = 1 : identitas (tidak berubah).
  • k < 0 : image berada pada sisi yang berlawanan terhadap pusat (efek refleksi melalui pusat). Lebih detail:
    • |k| > 1 : dibesarkan pada sisi berlawanan.
    • |k| < 1 : diperkecil pada sisi berlawanan.
    • k = −1 : sama ukuran tetapi pada sisi berlawanan (refleksi titik terhadap pusat).

Rumus koordinat (dua pandangan yang setara)

Pusat di origin O(0,0)

• Bentuk matriks: [k 0] [x] [kx] [0 k] * [y] = [ky]

• Rumus langsung: (x', y') = (k x, k y)

• Contoh:
  • A(4, 5), k = 3 → A’ = (3·4, 3·5) = (12, 15)

Pusat di (m, n)

• Lakukan translasi → skala → translasi balik:
  • Rumus: (x', y') = (k(x − m) + m, k(y − n) + n)
  • Artinya: kurangi titik pusat, kalikan dengan k, lalu tambahkan kembali pusat.
• Contoh:
  • A(4, 5), pusat P(−3, 2), k = 3
    • x' = 3(4 − (−3)) + (−3) = 3·7 − 3 = 21 − 3 = 18
    • y' = 3(5 − 2) + 2 = 3·3 + 2 = 9 + 2 = 11
    • Jadi A’ = (18, 11)

Menentukan citra garis/kurva di bawah dilatasi

Langkah umum:

1. Dari pemetaan maju: x' = k(x − m) + m dan y' = k(y − n) + n

2. Selesaikan untuk x dan y (mapping inverse): x = m + (1/k)(x' − m), y = n + (1/k)(y' − n)

3. Substitusi x dan y tersebut ke persamaan asli f(x,y) = 0.

4. Sederhanakan dan, bila perlu, kalikan untuk menghilangkan pecahan sehingga diperoleh persamaan dalam x' dan y'.

Contoh terhitung:

• Garis asli: x − 3y = 7 Pusat P(−1, 2), k = −3

• Pemetaan maju (menggantikan x,y → X,Y sebagai hasil):

  • X = −3(x + 1) − 1 = −3x − 4
  • Y = −3(y − 2) + 2 = −3y + 8
• Selesaikan dan substitusi → disederhanakan menghasilkan garis citra:
  • X − 3Y = −49
• Pemeriksaan titik sampel:
  • Titik asli (7, 0) dipetakan ke (−25, 8) dan memenuhi X − 3Y = −49.

Checklist langkah demi langkah

• Untuk sebuah titik (x, y):

  • Jika pusat (0,0): hitung (k x, k y).
  • Jika pusat (m, n): hitung (k(x − m) + m, k(y − n) + n).

• Untuk sebuah garis atau kurva f(x, y) = 0:

  1. Tulis pemetaan maju dan invert: x = m + (x' − m)/k, y = n + (y' − n)/k.
  2. Substitusi ke f(x, y) = 0.
  3. Kalikan untuk menghilangkan penyebut dan sederhanakan menjadi persamaan dalam x', y'.

• Untuk pengguna matriks:

  • Terapkan matriks skalar kI ke vektor ter-translasi (x − m, y − n), lalu tambahkan kembali pusat.

Catatan tentang kesalahan subtitle

• Subtitle auto-generated pada video mengandung kesalahan aritmetika dan notasi (mis. koordinat tercetak salah seperti 18,9 bukannya 18,11; serta kesalahan penyederhanaan aljabar pada garis yang terdilatasi). Ringkasan ini menggunakan rumus yang benar dan contoh yang telah dikoreksi.

Sumber yang muncul di video: host/narator (tidak dinamai dalam subtitle), Hayani (co-speaker), dan channel “Headlamp” (diperkenalkan dalam video).