PAES M1 | Conjunto de los números enteros | Clase 1

Resumen de la clase

La primera clase de Matemática M1 presenta los conjuntos de números naturales y enteros, y enseña a traducir expresiones cotidianas al lenguaje matemático. También relaciona estos conceptos con situaciones prácticas, como comprar, vender y repartir cuentas.

1. Preparación para la PAES y hábitos de estudio

• El docente presenta los contenidos que se trabajarán durante el año: números, álgebra, funciones, geometría, probabilidad y estadística. En la transcripción se mencionan seis áreas, aunque se las llama “cuatro ejes”.
• También destaca cuatro habilidades evaluadas: resolución de problemas, modelamiento, representación y argumentación.
• Recomienda estudiar con constancia y disciplina, cuidar la salud mental y tratarse bien durante la preparación.
• Sugiere reducir las distracciones —por ejemplo, silenciar el teléfono— y tener a mano lápiz, cuaderno y agua.
• Anima a preguntar cuando algo no se entienda y a especificar qué parte causó la duda.
• Se anuncia un código QR para acceder a ejercicios de números naturales y enteros extraídos de pruebas PAES M1. La clase se relaciona con las páginas 26 a 41 del manual.

2. Números naturales y enteros

• Según la convención que el profesor atribuye al DEMRE y a Puntaje Nacional, los números naturales comienzan en 1 y se usan para contar y ordenar.
• Los naturales están contenidos en los enteros, y los enteros en los racionales: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. Esto significa que todo natural es entero y todo entero es racional, pero no necesariamente a la inversa.
• Propiedades de los números naturales:
  • Tienen un primer elemento: 1.
  • El sucesor de (n) es (n+1).
  • Todo natural excepto el 1 tiene antecesor, que se obtiene restando 1.
  • La suma y la multiplicación de naturales dan como resultado otro natural; por eso, se dice que son operaciones cerradas en ese conjunto. La resta no siempre produce un natural.
• Los enteros incluyen los naturales, los negativos y el cero. El cero no es positivo ni negativo.
• Se subraya una distinción importante:
  • Positivos: enteros mayores que cero.
  • No negativos: cero y los positivos.
  • Negativos: enteros menores que cero.
  • No positivos: los negativos y el cero.
• Los enteros permiten representar, por ejemplo, temperaturas bajo cero, deudas o pérdidas y alturas bajo el nivel del mar.
• Propiedades de los números enteros:
  • No tienen primer ni último elemento; cada entero tiene sucesor y antecesor.
  • Son cerrados bajo suma, resta y multiplicación, pero no necesariamente bajo división.
  • El cero es el neutro aditivo: sumarlo o restarlo no cambia el número.
  • El uno es el elemento neutro multiplicativo: multiplicar o dividir por uno no cambia el número.
  • Todo entero tiene un opuesto o inverso aditivo, que se obtiene cambiando el signo.
• Un entero es par si puede expresarse como (2n). Los impares se pueden representar, por ejemplo, como (2n-1); el profesor señala que esta forma es útil tanto para enteros como para naturales.

3. Múltiplos y divisores

• Un múltiplo de un número se obtiene al multiplicarlo por un entero. Por ejemplo, 63 es múltiplo de 7 porque (63=7\cdot9).
• La clase considera principalmente múltiplos no negativos y recuerda que cero es múltiplo de todo número. En ese sentido, los múltiplos forman una lista infinita.
• Para decidir si un número es múltiplo de otro, hay que comprobar si puede escribirse como el producto de ese número por un entero. Por ejemplo, 51 sí es múltiplo de 17 porque (51=17\cdot3), mientras que 40 no es múltiplo de 12.
• Un divisor de un número es otro número que lo divide exactamente: el resultado debe ser un entero, sin parte decimal ni residuo.
  • Por ejemplo, 8 es divisor de 96 porque (96÷8=12).
  • 6 no es divisor de 112 porque la división no es exacta.
• El 1 es divisor de todo entero, pues al dividir un número por 1 se obtiene ese mismo número.
• A diferencia de los múltiplos, la lista de divisores de un número es finita. Se comenta que pueden considerarse divisores negativos si el problema lo indica, aunque en los ejemplos se usan no negativos.
• Dos formas equivalentes de expresar la misma relación son:
  • “A es múltiplo de B”.
  • “B es divisor de A”.

4. Traducir el lenguaje cotidiano al lenguaje matemático

El profesor recalca que en matemática pequeñas diferencias entre palabras pueden cambiar el significado, por lo que conviene leer con cuidado.

• “El doble de un número”: (2n).
• “El triple de un número”: (3n).
• “La mitad de un número”: (n÷2), o (n/2).
• “Un número aumentado en (m) unidades”: (n+m). La suma puede escribirse en cualquier orden.
• “Producto”: multiplicación.
• “Cociente entre dos cantidades”: división. Se debe respetar el orden indicado: la primera cantidad mencionada va en el numerador y la segunda, en el denominador.
• Tres números consecutivos pueden escribirse como:
  • (n,\ n+1,\ n+2), o
  • (n-1,\ n,\ n+1).

Lo esencial es que cada número difiera en una unidad del siguiente; (n,n,n), por ejemplo, no son consecutivos.

5. Exceso o diferencia

• El exceso entre dos cantidades se calcula mediante una resta, como una diferencia.
• Para saber cuánto se excede un límite, se resta el límite de la cantidad que lo supera. Por ejemplo, si se conduce a 120 km/h donde el máximo es 80 km/h, el exceso es (120-80=40) km/h.
• A diferencia de la suma, la resta no se puede cambiar de orden sin cambiar, en general, el resultado.

6. Fórmulas para situaciones cotidianas

La clase presenta relaciones que luego pueden expresarse como ecuaciones:

• Compra con efectivo: Precio + vuelto = dinero entregado. Por tanto, precio = dinero entregado − vuelto. Por ejemplo, pagar con $10.000 un artículo de $7.000 deja $3.000 de vuelto.

• Ganancia al vender: Precio de compra + ganancia = precio de venta. De forma equivalente: ganancia = precio de venta − precio de compra. Por ejemplo, comprar una galleta a $500 y venderla a $800 da una ganancia de $300. El ejemplo se plantea sin considerar IVA.

• Compra de varias unidades iguales: Precio por artículo × cantidad = total a pagar.

• Reparto equitativo de una cuenta: Total a pagar ÷ número de personas = monto por persona.

7. Práctica y recursos

El docente recomienda practicar con los ejercicios PAES recopilados, disponibles mediante el código QR y en la plataforma de Puntaje Nacional. Indica que allí se ofrecen enunciados y soluciones escritas o en video. También menciona el manual y una herramienta de inteligencia artificial de la plataforma como recursos complementarios.

Voces y fuentes mencionadas

• Marcio Mondaca Pino: profesor de Matemática M1 y M2, y expositor principal de la clase.
• Voz institucional de Puntaje Nacional: narración promocional inicial sobre preparación para la PAES, clases, manuales y ensayos; no se identifica a la persona que habla.
• Estudiantes participantes por el chat: aparecen preguntas y comentarios de alumnos, pero no se los identifica como voces habladas individuales.
• DEMRE y Puntaje Nacional: instituciones mencionadas como referencia para la convención sobre el conjunto de los números naturales.